Relasi

RELASI

Hubungan/relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.

Kita dapat membuat hubungan / relasi antara anggota himpunan A dan himpunan B dari kehidupan sehari-hari yang kita temukan. Contoh relasi seperti : "anak dari", "gemar berolahraga","ibu kota dari", dsb.

A. SEBUAH RELASI R TERDIRI DARI:

1. Himpunan A
2. Himpunan B
3. Sebuah kalimat terbuka P(x,y) yang menyatakan hubungan antara himpunan A dengan himpunan B.
   Dimana x bersesuaian dengan a Î A dengan y bersesuaian dengan b Î B.
   ® Bila P(a,b) betul maka a berelasi dengan b. Ditulis a R b
   ® Bila tidak demikian maka a R b

Misalkan A x B adalah produk cartesius himp A dan B, maka relasi atau hubungan R dari A ke B adalah sebarang himpunan bagian dari produk cartesius A x B.

Pada Relasi R= {(x,y)|xA dan YB} dapat disebutkan bahwa :

1. Himpunan ordinat pertama dari pasangan terurut (x,y) disebut wilayah / daerah asal (Domain)
2. Himpunan B disebut daerah kawan (Kodomain)
3. Himpunan bagian dari B yang bersifat x R y (x berelasi dengan y) dengan yB disebut daerah hasil (Range) relasi R.

Suatu relasi R = {(x,y)|xA dan YB} dapat ditulis dengan menggunakan :

1. Diagram panah
2. Himpunan pasangan berurutan
3. Diagram Cartesius

a. Diagram Panah
Perhatikan kembali Gambar 2.2 . Relasi antara himpunan A dan himpunan B dinyatakan oleh arah panah. Oleh karena itu, diagram tersebut dinamakan diagram panah.
Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajarilah contoh-contoh berikut!

Contoh Soal : Perhatikan diagram panah berikut. Tentukan hobi masing-masing anak. Jawab : Hasan dipasangkan dengan membaca, berarti Hasan hobi membaca. Maria tidak dipasangkan dengan membaca, memasak, atau olahraga. Jadi, hobi Maria bukanlah membaca, memasak, atau olahraga. Joni dipasangkan dengan membaca dan olahraga, berarti Joni hobi membaca dan berolahraga. Zahra dipasangkan dengan memasak, berarti Zahra hobi memasak Contoh Soal : Diketahui himpunan-himpunan bilangan A = {3, 4, 5, 6, 7} dan B = {4, 5, 6}. Buatlah diagram panah dari himpunan A ke himpunan B yang menunjukkan relasi: a. satu kurangnya dari, b. faktor dari. Jawab : a. 3  A dipasangkan dengan 4  B karena 4 = 3 + 1 4  A dipasangkan dengan 5  B karena 5 = 4 + 1 5 A dipasangkan dengan 6  B karena 6 = 5 + 1 Jadi, diagram panah dari himpunan A ke himpunan B yang menunjukkan relasi "satu kurangnya dari" adalah sebagai berikut. b. 3  A dipasangkan dengan 6  B karena 3 merupakan faktor dari 6. 4  A dipasangkan dengan 4  B karena 4 merupakan faktor dari 4. 5  A dipasangkan dengan 5  B karena 5 merupakan faktor dari 5. 6  A dipasangkan dengan 6  B karena 6 merupakan faktor dari 6. Jadi, diagram panah himpunan A ke himpunan B yang menunjukkan relasi faktor dari adalah sebagai berikut.

b. Himpunan Pasangan Berurutan
Relasi "menyukai warna" pada Gambar 2.2 dapat juga dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan. Anggota-anggota himpunan A = {Eva, Roni, Tia, Dani} dipasangkan dengan anggota-anggota himpunan B = {merah, hitam, biru}, sebagai berikut.

Pernyataan "Eva menyukai warna merah" ditulis (Eva, merah).
Pernyataan "Roni menyukai warna hitam" ditulis (Roni, hitam).
Pernyataan "Tia menyukai warna merah" ditulis (Tia, merah).
Pernyataan "Dani menyukai warna biru" ditulis (Dani, biru).

Himpunan pasangan berurutan untuk relasi ini ditulis: {(Eva, merah), (Roni, hitam), (Tia, merah), (Dani, biru)}.
Jadi, relasi antara dua himpunan, misalnya himpunan A dan himpunan B dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan (x, y) dengan x  A dan y  B.

Contoh Soal : Diketahui dua himpunan bilangan P = {0, 2, 4, 6, 8} dan Q = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Jika relasi himpunan P ke himpunan Q adalah "dua kali dari", tentukan himpunan pasangan berurutan untuk relasi tersebut. Jawab : 0  A dipasangkan dengan 0  B karena 0 = 0 × 2, ditulis (0, 0) 2  A dipasangkan dengan 1  B karena 2 = 1 × 2, ditulis (2, 1) 4  A dipasangkan dengan 2  B karena 4 = 2 × 2, ditulis (4, 2) 6  A dipasangkan dengan 3  B karena 6 = 3 × 2, ditulis (6, 3) 8  A dipasangkan dengan 4  B karena 8 = 4 × 2, ditulis (8, 4) Jadi, himpunan pasangan berurutan untuk relasi "dua kali dari" adalah {(0, 0), (2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4)}

c. Diagram Cartesius
Perhatikan kembali Gambar 2.2 . Relasi pada gambar tersebut dapat dinyatakan dalam diagram Cartesius. Anggota-anggota himpunan A sebagai himpunan pertama ditempatkan pada sumbu mendatar dan anggota-anggota himpunan B pada sumbu tegak. Setiap anggota himpunan A yang berpasangan dengan anggota himpunan B, diberi tanda noktah (*). Untuk lebih jelasnya, perhatikan diagram Cartesius yang menunjukkan relasi "menyukai warna" berikut.

Contoh Soal : Diketahui dua himpunan bilangan A = {4, 5, 6, 7} dan B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Jika relasi himpunan A ke himpunan B adalah "lebih dari", gambarkan diagram Cartesiusnya. Jawab : Diketahui: A = {4, 5, 6, 7} B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Relasi himpunan A ke himpunan B adalah "lebih dari".Jadi, diagramnya adalah sebagai berikut.

Contoh :

1. Relasi yang menyatakan kegemaran berolahraga dalam sekelompok anak. Andi gemar berolah raga tinju, Sigit gemar berolah raga tinju dan tenis, Rudi hanya gemar berolahraga kasti saja, sedangkan Doni gemar berolah raga kasti dan basket. Bentuklah diagram panah dari pernyataan di atas!

Jawab :

A B

(Range)

(Domain) (Kodomain)

2. Via : aku senang permen dan coklat

Andre : aku senang coklat dan es krim

Ita : aku suka es krim

Dari contoh di atas dapat dibuat dua himpunan, yaitu :

-Himpunan A adalah himpunan nama orang

A = { Via, Andre, Ita }

-Himpunan B adalah himpunan makanan kesukaan

B = { es krim, coklat, permen }

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah "makanan kesukaan" dan dapat dinyatakan dengan :

a.Diagram panah

b.Himpunan pasangan berurutan

{ (Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) , (Ita,es krim)}

c. Diagram Cartesius

C. Korespondensi Satu-Satu (Perkawanan Satu-Satu)
1. Pengertian Korespondensi Satu-Satu
Perkawanan satu-satu adalah fungsi khusus, yaitu fungsi yang
memenuhi persyaratan sebagai berikut :
a. Ada sifat fungsi (ada domain, kodomain, range, dan kodomain = range)
b. Setiap anggota daerah asal dipetakan dengan tepat ke satu daerah hasil,
dan setiap daerah hasil dipetakan dengan tepat ke daerah asal.

Dua himpunan P dan Q dikatakan dalam keadaan korespondensi satu-satu
jika anggota-anggota P dan Q dapat dipasangkan sedemikian hingga
setiap anggota P berpasangan dengan satu anggota Q, dan setiap anggota
Q berpasangan dengan satu anggota P.




Contoh :
A= {1,2,3} dan B {a,b,c}, n (A) = n (B) = 3, maka banyak korespondensi satu-satu A dan B adalah 3! = 3 x 2 x 1 = 6
Jawab : Jadi banyak korespondensi satu-satu dari A ke B adalah 6 jika dinyatakan dalam diagram panah adalah sebagai berikut :